Question

已知命题p：对m∈[-1，1]，不等式a2-5a+3≥

m2+8

恒成立；命题q：方程x²+ax+4=0在实数集内没有解；若p和q都是真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：通过求函数的最值解决不等式恒成立，求出命题p为真时a的范围；利用二次方程根的判断是通过判别式求出命题q为真a的范围；求出两个命题全真时a的范围．

解答：解：∵m∈[-1，1]，∴

m2+8

∈[2

2

，3]，
因为对m∈[-1，1]，不等式a2-5a+3≥

m2+8

恒成立，
可得a²-5a+3≥3，
∴a≥5或a≤0．
故命题p为真命题时，a≥5或a≤0．
又命题q：方程x²+ax+4=0在实数集内没有解，
∴△=a²-16＜0，∴-4＜a＜4．
故命题q为真命题时-4＜a＜4．
∵{a|a≥5或a≤0}∩{a|-4＜a＜4}={a|-4＜a≤0}．
a的取值范围是：-4＜a≤0．

点评：本题考查解决不等式恒成立常用分离参数转化为求函数的最值、判断二次方程根的个数问题用判别式．