Question

已知数列{a_n}中，a₁＝a(a＞2)，且a_n＋1＝(n∈N)．

(Ⅰ)证明：a₂＞2；

(Ⅱ)证明：a_n+1＜a_n；

(Ⅲ)若a＞3，且存在自然数k，使a_k≥3，证明：k＜1＋．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查数列、数学归纳法、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力和综合运用数学知识解决问题的能力． 　　(Ⅰ)证明：∵a1＝a＞2，∴(a－2)2＞0． 　　于是a2－2＝－2＝＞0，∴a2＞2． 　　(Ⅱ)证明：先证明an＞2，事实上，当n＝1时，a1＝a＞2，命题成立． 　　假设n＝k(k∈N)时命题成立，即ak＞2， 　　于是ak+1－2＝－2＝＞0，∴ak+1＞2． 　　这说明当n＝k＋1时命题也成立 　　故对任意自然数n，都有an＞2．　　下面证明an+1＜an． 　　∵＝＝(1＋)＜(1＋)＝1 　　又an＞2＞0，∴an+1＜an． 　　(Ⅲ)证明：当k＝1时，不等式显然成立． 　　当k≥2时，由a＞3，ak+1＜ak及ak≥3，可得a1＞a2＞a3＞…＞ak≥3． 　　则＝＝(1＋)＜(1＋)＝． 　　又ak＝a1···…·＜a1···…·＝a·， 　　∴3≤ak＜a·，即3＜a·． 　　由a＞3得0＜＜1，∴＞，于是k－1＜，即k＜1＋．