题目内容

已知集合A={x|x²-4ax+2a+6=0，x∈R}，集合B={x|x＜0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

解：（法1）：因为A∩B≠∅，所以方程x²-4ax+2a+6=0有负根；
设方程的根为x₁，x₂
（1）恰有一个负根： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
即a≤-3
（2）恰有2个负根 $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$
即-3＜a≤-1
所以a的取值范围是{a|a≤-1}
（法2）：因为x²-4ax+2a+6=0有负根，所以 $\text{[math]}$ （x＜0）有解，
设 $\text{[math]}$ （x＜0），
令t=4x-2＜-2，换元得y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤-1
所以a≤-1
分析：（法1）：由A∩B≠∅，可得方程x²-4ax+2a+6=0有负根，分类讨论，（1）恰有一个负根：（2）恰有2个负根，结合二次方程的性质可求
（法2）：由x²-4ax+2a+6=0有负根可得以 $\text{[math]}$ （x＜0）有解，构造函数 $\text{[math]}$ （x＜0），令t=4x-2＜-2，换元得y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，结合基本不等式可求y的范围，进而可求a的范围
点评：本题主要考查了二次方程的根的分布，方程的根与系数关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，还要注意基本不等式在求解函数的值域中的应用．