Question

已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．

Answer 1

解析　(1)当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．

∴f′(x)＝＋1－，∴f(2)＝ln2＋2，f′(2)＝1.

∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x＋ln2.

(2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，

所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．

令g(x)＝ax²－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，

①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)．

所以当x∈(0,1)时g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

②当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x₁＝1，x₂＝－1.

(ⅰ)若a＝时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

(ⅱ)若0<a<时，由f′(x)<0，得x<1或x>－1，所以函数f(x)在(0,1)，单调递减，在上单调递增．

(ⅲ)当a<0时，由于－1<0，由f′(x)<0，得0<x<1，

∴x∈(0,1)时，函数f(x)递减；x∈(1，＋∞)时，函数f(x)递增．

综上所述：

当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；

当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

当0<a<时，函数f(x)在(0,1)，上单调递减，在上单调递增．