Question

若关于x的方程sin²x+cosx+m+1=0有实数解，则实数m的取值范围是（　　）

• A．[-

  9

  4

  ，-1]
• B．[-1，

  1

  4

  ]
• C．[0，

  1

  4

  ]
• D．[-

  9

  4

  ，0]

Answer 1

分析：由题意，可转化方程有解的问题为求函数值域的问题，关于x的方程sin²x+cosx+m+1=0有实数解可转化为sin²x+cosx=-m-1有解，先求出y=sin²x+cosx的值域，即可得到-m-1∈[-1，

5

4

]，由此即可得到参数m的取值范围得出正确选项．

解答：解：关于x的方程sin²x+cosx+m+1=0有实数解可转化为sin²x+cosx=-m-1有解
令y=sin²x+cosx=-cos²x+cosx+1=-（cosx-

1

2

）²+

5

4

又cosx∈[-1，1]，故y∈[-1，

5

4

]，即-m-1∈[-1，

5

4

]，
∴m∈[-

9

4

，0]
故选D

点评：本题考查复合三角函数的值域，解题的关键是将方程有解的问题转化为求函数值域的问题，本题考查了转化的思想及配方求值域的方法，本题有一定的综合性，难度中等