Question

如图所示,在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,M、N分别是C₁C、B₁C₁的中点,求证:MN∥平面A₁BD.

Answer 1

证法一:如图,以D为原点,DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得

M(0,1,)、N(,1,1)、D(0,0,0)、A₁(1,0,1)、B(1,1,0),于是.

设平面A₁BD的法向量是n=(x,y,z),

则n·=0,且n·=0,

得

取x=1,得y=-1,z=-1.

∴n=(1,-1,-1).

又·n=(,0,)·(1,-1,-1)=0,

∴⊥n.

∴∥平面A₁BD,即∥平面A₁BD.

证法二:∵

∴∥.又∵MN平面A₁BD,

∴MN∥平面A₁BD.

证法三:∵

即可用与线性表示,故与、是共面向量,又∵MN面A₁BD,

∴MN∥平面A₁BD,即MN∥平面A₁BD.