Question

设函数f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a2-a-1，（a∈R）
（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

3

]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为2sin(2x+

π

6

)+a2-a，由此求得最小正周期、以及函数的单调增区间．
（2）当 x∈[0

π

3

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

 

5π

6

]，由此可得函数f（x）=2sin(2x+

π

6

)+a2-a的最大值．

解答：解：（I）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a2-a-1=2sin(2x+

π

6

)+a2-a
∴函数f（x）的最小正周期

2π

2

=π．
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
所以函数的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）当 x∈[0，

π

3

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴当 2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

，f（x）取得最大值是a²-a+2．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、正弦函数的单调性、定义域、值域，属于中档题．