Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC．
（1）求证：平面ABFE⊥平面DCFE；
（2）求四面体B-DEF的体积．

Answer 1

分析：（1）因为∠BFC=90°，所以FC⊥BF，又因为EF⊥FB，根据线面垂直的判定定理可得：BF⊥平面EFCD，进而得到面面垂直．
（2）根据四边形ABCD为正方形，可得AB⊥BC．进而可得EF⊥BC，而EF⊥BF，结合线面垂直的判定定理可得EF⊥面BCF，
所以EF⊥FC，即FC是△DEF的边EF上的高，由（1）得：BF的长为B到面DEF的距离，进而求出答案．

解答：解：（1）因为∠BFC=90°，
所以FC⊥BF，
又因为EF⊥FB，又FC∩EF=F，并且FC，EF?平面EFCD，
所以BF⊥平面EFCD，
因为BF?平面ABEF，
所以平面ABFE⊥平面DCFE．
（2）∵四边形ABCD为正方形，则AB⊥BC
又EF∥AB，则EF⊥BC，而EF⊥BF，BF∩BC=B且BF，BC?面BCF
所以：EF⊥面BCF，而FC?面BCF，则：EF⊥FC
即FC是△DEF的边EF上的高，
由（1）得：BF⊥面EFCD，即：BF的长为B到面DEF的距离，
所以：VB-DEF=

1

3

S△DEF•BF=

1

3

•(

1

2

•1•

2

)•

2

=

1

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，利用线线的垂直关系证明线面垂直与面面垂直，进而求出几何体积．