Question

（2013•烟台一模）设函数f（x）=m（x-

1

x

）-21nx，g（x）=

2e

x

（m是实数，e是自然对数的底数）．
（1）当m=2e时，求f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求m的值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，再由导数大于0和小于0，求出函数h（x）的单调区间；
（2）先求导函数f′（x）=m+

m

x2

-

2

x

，再设直线l：y=2（m-1）（x-1），将直线的方程与g（x）=

2e

x

联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再利用l与g（x）的图象相切，方程有两个相等的实根，即可得出m的值．

解答：解：（1）当m=2e时，
∵f（x）=2e（x-

1

x

）-21nx，g（x）=

2e

x

，
∴f（x）+g（x）=2e（x-

1

x

）-21nx+

2e

x

=2ex-lnx，
f′（x）+g′（x）=2e-

2

x

，
故当x＞

1

e

，f（x）+g（x）是增函数；当0＜x＜

1

e

时，f（x）+g（x）是减函数；
∴函数f（x）+g（x）的增区间是（

1

e

，+∞）；减区间是（0，

1

e

）．
（2）∵f′（x）=m+

m

x2

-

2

x

，∴f′（1）=2（m-1），设直线l：y=2（m-1）（x-1），
由

y=2(m-1)(x-1) y= 2e x

得（m-1）（x-1）=

e

x

，即（m-1）x²-（m-1）x-e=0，
当m=1时，方程无解；
当m≠1时，∵l与g（x）的图象相切，
∴（m-1）²-4（m-1）（-e）=0，得m=1-4e．
综上，m=1-4e．

点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，综合性比较强．