Question

（本小题满分13分）

如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线 截得的线段长等于C₁的长半轴长。

（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；

（Ⅱ）设C₂与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C₂相交于点A,B,直线MA,MB分别与C₁相交与D,E．

（i）证明：MD⊥ME;

（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理

由。

Answer 1

（Ⅰ）由题意知

故C₁，C₂的方程分别为

（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.

由得

^.

设是上述方程的两个实根，于是

又点M的坐标为（0，—1），所以

故MA⊥MB，即MD⊥ME.

（ii）设直线MA的斜率为k₁，则直线MA的方程为解得

则点A的坐标为.

又直线MB的斜率为，

同理可得点B的坐标为

于是

由得

解得

则点D的坐标为

又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为

于是.

因此

由题意知，

又由点A、B的坐标可知，

故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为