题目内容

已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0，f（1）=1，对所有x≤y，均有f（ $数学公式$ ）=（1-a）f（x）+af（y），则a的值是________．

$\text{[math]}$
分析：由f（ $\text{[math]}$ ）=（1-a）f（x）+af（y），进行赋值，可得出关于a的方程，即可求得a的值．
解答：由f（ $\text{[math]}$ ）=（1-a）f（x）+af（y），
令x=0，y=1，可得f（ $\text{[math]}$ ）=（1-a）f（0）+af（1）=a，
令x=0，y= $\text{[math]}$ ，可得f（ $\text{[math]}$ ）=（1-a）f（0）+af（ $\text{[math]}$ ）=a²，
令x= $\text{[math]}$ ，y=1，可得f（ $\text{[math]}$ ）=（1-a）f（ $\text{[math]}$ ）+af（1）=2a-a²，
令x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，可得f（ $\text{[math]}$ ）=（1-a）f（ $\text{[math]}$ ）+af（ $\text{[math]}$ ）
∴a=（1-a）a²+a（2a-a²）
∴a（2a-1）（a-1）=0
∵0＜a＜1，
∴a= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．