Question

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为(4

2

，

π

4

)，曲线C的参数方程为

x=1+ 2 cosα y= 2 sinα

（α为参数）．
（I）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM的方程；
（Ⅱ）把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|-r即可求出最小值．

解答：解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(4

2

 ，  

π

4

)，得点M的直角坐标x=4

2

cos

π

4

=4，y=4

2

sin

π

4

=4，即M（4，4）．
∴直线OM的直角坐标方程为y=x．
（Ⅱ）由曲线C的参数方程

x=1+ 2 cosα ，   y= 2 sinα

（α为参数），消去参数α得普通方程为：（x-1）²+y²=2．
∴圆心为A（1，0），半径r=

2

，
由于点M在曲线C外，
故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|-r=

32+42

-

2

=5-

2

．

点评：充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点M到曲线（圆）C上的点的距离的最小值为|MA|-r是解题的关键．