Question

已知抛物线，过其对称轴上一点作一直线交抛物线于A，B两点，若∠OBA=60°，求OB的斜率．

Answer 1

【答案】分析：先设直线AB的方程和A，B两点的坐标，然后联立直线AB和抛物线消去x得到y的二次方程，进而可表示出两根之和，再结合直线AB方程可得到其横坐标之积的值，进而可得到OA⊥OB，最后根据∠OBA=60°可求出B点的纵坐标的值，然后根据横纵坐标之间的关系得到OB的斜率．
解答：解：设直线AB方程为，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由，得，
则y₁•y₂=-12，x₁•x₂=12，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，∴OA⊥OB，又∠OBA=60°，
∴，∴x₁²+y₁²=3（x₂²+y₂²），
∴，∴，
∴．
点评：本题主要考查直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点，也是难点，要强化复习．