Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，F为PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PB与平面ABF所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明AF⊥平面PCD，利用线面垂直的判定定理，只需证明AF⊥PD，CD⊥AF即可；
（Ⅱ）证明∠PBF为直线PB与平面ABF所成的角，求出PF，BF的长，即可得出结论．

解答：（Ⅰ）证明：如图右，因为△PAD是正三角形，F为PD中点，所以AF⊥PD，
因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD
又因为平面PAD⊥平面ABCD，且AD=面PAD∩面ABCD；
所以CD⊥平面PAD，而AF?平面PAD，
所以CD⊥AF，且CD∩PD=D，
所以AF⊥平面PCD．…（6分）；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）证明可知，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD
因为PD?平面PAD，所以AB⊥PD，
又由（Ⅰ）知AF⊥PD，且AF∩AB=A，所以PD⊥平面ABF，即∠PBF为直线PB与平面ABF所成的角…（9分）
∵AB=2，AF=

3

，PF=1，∴Rt△BAF中，BF=

AF2+AB2

=

7

，
所以tan∠PBF=

PF

BF

=

7

7

，即求．…（12分）
〖注〗若用等体积法，参照标准同样分步计分．

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，解题的关键是正确运用线面垂直的判定，作出线面角，属于中档题．