Question

如图所示的多面体中，已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，CD=8．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面BCF；
（Ⅱ）设二面角E-BC-F的平面角为θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B，C，E，F，利用，，然后证明BD⊥平面BCF．
（Ⅱ）通过是平面BCF的一个法向量，设平面BCE的一个法向量，通过，求出，然后利用数量积求出cosθ的值．
（Ⅲ）设P（0，0，a），（0≤a≤4），P为DE上一点，通过，求出a=1．推出MP∥平面BCE．
解答：（Ⅰ）证明：以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（4，4，0），
C（0，8，0），E（0，0，4），F（0，8，4），
∵，
，
∴BD⊥BC，BD⊥CF，且BC与CF相交于C，
∴BD⊥平面BCF．（3分）
（Ⅱ）解：∵BD⊥平面BCF，是平面BCF的一个法向量，
设平面BCE的一个法向量，
则⇒ 取=（1，1，2），
则cosθ===． （6分）
（Ⅲ）解：∵M（2，0，0），设P（0，0，a），（0≤a≤4），P为DE上一点，
则，
∵MP∥平面BCE，
∴⇒=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0⇒a=1．
∴当DP=1时，MP∥平面BCE．（9分）
点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．