Question

已知函数f（x）=ax³+bx²在点（3，f（3））处的切线方程为12x+2y-27=0，且对任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数k的最小值；
（Ⅲ）求证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln(n+1)+2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点（3，f（3））在切线上，可求点的纵坐标，又在曲线上，把求得的点的坐标代入曲线方程可得一个关于a，b的方程，再根据函数在点（3，f（3））处的切线的斜率列关于a，b的第二个方程，联立后即可求得a，b的值，则函数解析式可求；
（Ⅱ）求出函数的导函数后代入f′（x）≤kln（x+1），把对任意的x∈[0，+∞），f′（x）≤kln（x+1）恒成立转化为x²-x+klnx≥0在x∈[0，+∞）恒成立，引入辅助函数g（x）=x²-x+kln（x+1），而g（0）=0，则问题转化为函数g（x）=x²-x+kln（x+1）在[0，+∞）上为增函数，求k的值．把函数g（x）求导后，通过满足导函数在[0，+∞）上恒大于等于0可求实数k的取值范围．
（Ⅲ）当k=1时，（Ⅱ）中的结论变为-x²+x≤ln（x+1），也就是x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立，取x=

1

n

后利用对数式的性质展开，作和后先放缩再裂项，整理即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：将x=3代入直线方程得y=-

9

2

，
∵点（3，f（3））在函数f（x）=ax³+bx²的图象上，∴27a+9b=-

9

2

①
由f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②
联立①②，解得a=-

1

3

，b=

1

2

．
∴f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2；
（Ⅱ）解：由f'（x）=-x²+x，∴对任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立，
即-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；
也就是x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；
设g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，
∴只需对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）即可．
g′(x)=2x-1+

k

x+1

=

2x2+x+k-1

x+1

，x∈[0，+∞)
设h（x）=2x²+x+k-1，
（1）当△=1-8（k-1）≤0，即k≥

9

8

时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（0）
（2）当△=1-8（k-1）＞0，即k＜

9

8

时，设x1，

x

2

是方程2x²+x+k-1=0的两根且x₁＜x₂
由x1+

x

2

=-

1

2

，可知x₁＜-

1

2

，
要使对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），只需

x

2

≤0，
即k-1≥0，∴k≥1，∴1≤k＜

9

8

综上分析，实数k的最小值为1．
（Ⅲ）证明：因为当k=1时，有f'（x）≤kln（x+1）恒成立，即-x²+x≤ln（x+1），也就是x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立；
令x=

1

n

，得

1

n

≤

1

n2

+ln(

1

n

+1)=

1

n2

+ln(n+1)-lnn．
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≤1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(ln(n+1)-lnn)
=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+ln(n+1)
＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

+ln(n+1)
=2-

1

n

+ln(n+1)＜2+ln(n+1)．
∴原不等式得证．

点评：本题考查了利用导数研究函数的切线方程问题，在曲线上某点处的切线的斜率就是该点的导数值，考查了导数在最大值和最小值中的应用，体现了数学转化思想和分类讨论的数学思想．特别是（Ⅲ）的证明，用到了放缩法和裂项相消，此题属难度较大的题目．