Question

【题目】已知椭圆： 的长轴长为，且椭圆与圆： 的公共弦长为.

（1）求椭圆的方程.

（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点， 轴于点，点在椭圆上，且，求证： ， ， 三点共线..

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（2）设， ，则， .

因为点， 都在椭圆上，所以，利用“点差法”证明 ，即可得结论.

试题解析：（1）由题意得，则.

由椭圆与圆： 的公共弦长为，

其长度等于圆的直径，

可得椭圆经过点，

所以，解得.

所以椭圆的方程为.

（2）证明：设， ，则， .

因为点， 都在椭圆上，所以

所以 ，

即.

又 ，

所以，

即，

所以

所以

又 ，

所以，

所以， ， 三点共线.