Question

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2011）+f（2012）=（　　）

A．-1

B．-1+log₂3

C．1+log₂3

D．1

Answer 1

分析：由f（x+2）=-f（x），得到f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性即可进行求值．

解答：解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即x≥0时，函数的周期是4，
∵f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，
∴f（-2011）=f（2011）=f（-1）=f（3）=f（1+2）=-f（1），
f（2012）=f（0），
当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），
∴f（0）=log₂1=0，
f（1）=log₂2=1，
∴f（-2011）+f（2012）=f（0）-f（1）=-1．
故选：A．

点评：本题主要考查函数的值的计算，利用条件求出函数的周期性，利用周期性和奇偶性是解决本题的关键．