Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}与等比数列b_n中，b₁=a₁=1，b₂=a₂，b₃=a₅．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足：cn=3an+λbn，且c_n+1≥c_n（n∈N₊）恒成立，求实数λ取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式，根据条件建立方程组，即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ），结合c_n+1≥c_n（n∈N₊）恒成立，分离参数，即可求实数λ取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差d，数列{b_n}的公比q，则

1+d=q 1+4d=q2

∵d≠0，∴d=2，q=3
∴a_n=2n-1，b_n=3^n-1；
（Ⅱ）cn=3an+λbn=3^2n-1+λ•3^n-1，∴c_n+1=3²ⁿ⁺¹+λ•3ⁿ
∵c_n+1≥c_n（n∈N₊）恒成立，
∴3²ⁿ⁺¹+λ•3ⁿ≥3^2n-1+λ•3^n-1
∴λ≥-4×3ⁿ
∵n∈N₊，∴-4×3ⁿ≤-12
∴λ≥-12．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．