Question

已知椭圆

x2

32

+

y2

8

=1和圆x²+（y-6）²=5，在椭圆上求一点P₁，在圆上求一点 P₂，使|P₁P₂|达到最大值，并求出此最大值．

Answer 1

分析：设P₁（4

2

cosα，2

2

sinα），圆x²+（y-6）²=5的圆心坐标为C（0，6），则|P₁P₂|_max=|P₁C|_max+

5

，利用配方法可得结论．

解答：解：设P₁（4

2

cosα，2

2

sinα），圆x²+（y-6）²=5的圆心坐标为C（0，6），则|P₁P₂|_max=|P₁C|_max+

5

．
|P₁C|=

32cos2α+(2 2 sinα-6)2

=

-24(sinα+ 2 2 )2+80

，
∴sinα=-

2

2

时，|P₁C|_max=4

5

，∴|P₁P₂|_max=5

5

，此时P₁（±4，-2）．
P₁（4，-2）时，P₁C的方程为y=-x+6，代入圆方程，可得P₂（-

10

2

，

10

2

+6）；
P₁（-4，-2）时，P₁C的方程为y=x+6，代入圆方程，可得P₂（

10

2

，

10

2

+6）．

点评：本题考查椭圆与圆的综合问题，考查参数法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用参数是关键．