Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，如果函数f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+…+

1

n+an

（n∈N^*，n≥2），则函数f（n）的最小值为（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  4

• C．

  7

  12

• D．

  5

  12

Answer 1

分析：把点P代入直线方程，可得a_n+1-a_n=1进而判断数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列数列{a_n}的通项公式可得，分别表示出f（n）和f（n+1），通过f（n+1）-f（n）＞0判断
f（n）单调递增，故f（n）的最小值是f（2）．

解答：解：由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，得a_n+1-a_n=1，且a₁=1，
所以数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
a_n=1+（n-1）•1=n（n≥2），a₁=1同样满足，
所以a_n=n，
f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，
f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
所以f（n）是单调递增，
故f（n）的最小值是f（2）=

7

12

，
故选C．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．即数列与不等式相结合的问题考查，考查了学生综合思维能力．