Question

已知函数f(x)=

2x+1

2x-1

（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性并证明；
（3）判断f（x）在（0，+∞）的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的定义域可令分母2^x-1≠0求解，对函数的解析式进行变化，判断出值域即可值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性并证明，本函数是一个奇函数，由定义法证明即可；
（3）判断f（x）在（0，+∞）的单调性并证明，由解析式可以看出本函数在（0，+∞）是一个减函数，可由复合函数的单调性的判断方法判断证明即可．

解答：解：（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为f(x)=1+

2

2x-1

，由于2^x-1＞-1，故

1

2x-1

＜-1或

1

2x-1

＞0
故

2

2x-1

＞0或

2

2x-1

＜-2，
∴f(x)=

2x+1

2x-1

的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）函数是一个奇函数，证明如下
f(-x)=

2-x+1

2-x-1

=

2x+1

1-2x

= -

2x+1

2x-1

=-f(x)，故是一个奇函数．
（3）f（x）在（0，+∞）是一个减函数，证明如下
由于f(x)=1+

2

2x-1

，在（0，+∞）上，2^x-1递增且函数值大于0，

2

2x-1

在（0，+∞）上是减函数，故f(x)=1+

2

2x-1

在（0，+∞）上是减函数

点评：本题考查函数单调性的、奇偶性的判断与证明以及函数的定义域与值域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于胸，熟知其各种判断证明方法．