Question

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|
（1）判断函数f（x）=x|x-a|的奇偶性；
（2）当a＞0时，求函数f（x）=x|x-a|在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断函数f（x）=x|x-a|的奇偶性；
（2）当a＞0时，求出函数f（x）=x|x-a|的表达式，即可求出在区间[0，1]上的最大值．

解答：解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．
当a=0时f（x）=x|x-a|=x|x|，为奇函数．
当a≠0时，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）由题意可得f（x）=

x2-ax=(x- a 2 )2- a2 4 ，x≥a ax-x2=-(x- a 2 )2+ a2 4 ，x＜a

，
由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，
由x2-ax=

a2

4

，即x=(

1+ 2

2

)a，
当

a

2

≥1，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=a-1；
当

1

2

＜1＜(

1+ 2

2

)a，
即2(

2

-1)≤a＜2时，f（x）在[0，

a

2

]上递增，在[

a

2

，a]上递减，
∴f（x）的最大值为f（

a

2

）=

a2

4

；
当(

1+ 2

2

)a＜1，即0＜a＜2(

2

-1)时，
f（x）在[0，

a

2

]上递增，在[

a

2

，a]上递减，在[a，1]上递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=1-a．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力．