Question

设a，b是实数，函数f(x)=

1

2x+b

-a是R上的奇函数．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）试判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并请你用函数的单调性给予证明；
（Ⅲ）不等式f（m-2）+f（2^x+1+4^x）＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由奇函数性质得，f（0）=0，f（-1）=-f（1），由此得关于a，b的方程组，解出a，b即可，注意检验；
（Ⅱ）定义法：由（Ⅰ）知f（x）=

1

2x+1

-

1

2

，设x₁＜x₂，利用作差f（x₁）-f（x₂）可证f（x₁）＞f（x₂），由单调性定义可得结论；
（Ⅲ）利用函数f（x）的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符合“f”，进而转化为函数的最值问题即可解决；

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，
所以f（0）=0，f（-1）=-f（1），即

1

1+b

-a=0①，

1

2-1+b

-a=-（

1

2+b

-a）②，
联立①②解得

a= 1 2 b=1

，经检验，符合题意，
所以实数a=

1

2

，b=1；
（Ⅱ）f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，证明如下：
由（Ⅰ）知f（x）=

1

2x+1

-

1

2

，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（

1

2x1+1

-

1

2

）-（

1

2x2+1

-

1

2

）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
（Ⅲ）因为f（x）为奇函数，所以f（m-2）+f（2^x+1+4^x）＜0可化为f（2^x+1+4^x）＜-f（m-2）=f（2-m），
又f（x）单调递减，所以2^x+1+4^x＞2-m，
由题意，只需（2^x+1+4^x）_min＞2-m，
而2^x+1+4^x=（2^x+1）²-1＞0，
所以2-m≤0，即m≥2，
实数m的范围为m≥2．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．