题目内容

已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且3sin2B+3sin2C-2sinBsinC=3sin2A，a=
3
，求
AB
•
AC
的最大值．
分析：△ABC中，利用正弦定理和余弦定理求得cosA=
1
3
，再利用基本不等式求得bc≤
9
4
，再利用两个向量的数量积的定义求得
AB
•
AC
的最大值．
解答：解：△ABC中，∵3sin2B+3sin2C-2sinBsinC=3sin2A，由正弦定理得3b2+3c2-2bc=3a2，即3b2+3c2-3a2=2bc．
再由余弦定理得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
3
．
∵a=
3
，∴3b2+3c2-2bc=9≥6bc-2bc=4bc，∴bc≤
9
4
，当且仅当b=c时等号成立．
∴
AB
•
AC
=c•b•cosA=
bc
3
≤
3
4
，
故
AB
•
AC
的最大值为
3
4
．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式以及两个向量的数量积的定义，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．
已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB边上的高所在的直线方程；
（2）直线l∥AB，与AC，BC依次交于E，F，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直线方程．
已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，则边长c=
3
3
．
已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)满足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面积S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．
已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．

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