题目内容

如图，在三棱锥S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，SB=SC=AB=2，BC=2 $数学公式$ ，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）求点B到平面SAC的距离；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

解：（Ⅰ）因为SB=SC，O为BC中点，所以SO⊥BC
而平面平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC=BC，所以SO⊥平面ABC，
以OB、OA、OS为x，y，z轴建立直角坐标系，得B（ $\text{[math]}$ ，0，0），A（0， $\text{[math]}$ ，0），S（0，0， $\text{[math]}$ ），C（- $\text{[math]}$ ，0，0），
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设平面SAC的法向量为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，可取 $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ ，故点B到平面SAC的距离d=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$
（Ⅱ）由已知得平面SBC的法向量 $\text{[math]}$ =（0，1，0），平面SAC的法向量 $\text{[math]}$ =（-1，1，1）
∴二面角A-SC-B的余弦值等于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）以OB、OA、OS为x，y，z轴建立直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面SAC的法向量 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，从而可求点B到平面SAC的距离d=| $\text{[math]}$ |；
（Ⅱ）由已知得平面SBC的法向量 $\text{[math]}$ =（0，1，0），平面SAC的法向量 $\text{[math]}$ =（-1，1，1），从而可得二面角A-SC-B的余弦值．
点评：本题考查点到面的距离，考查面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．