Question

设函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²+2．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若不等式f（x）＞m在x∈[

1

e

-1，e-1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[1，2]，使不等式f(x0)＞a+

9

4a

+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0写出区间形式即为函数f（x）的单调增区间．
（2）由（1）得f（x）在x∈[

1

e

-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x）_min，得到m的范围．
（3）构造函数g（a），通过导数求出g（a）的最大值，由（1）求出f_max=f（2）=11-ln9，令f_max大于g（a）的最大值求出a的范围

解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠-1}…（1分）
f′(x)=2(1+x)-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函数f（x）的单调增区间为（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵当x∈[

1

e

-1，0]时f′（x）＜0…（4分）
当x∈[0，e-1]时f′（x）＞0
∴f（x）在[

1

e

-1，0]上单调递减，在[0，e-1]上单调递减．…（6分）
f（x）_min=f（0）=1-0+2=3
∴m＜3…（8分）
（3）设g(a)=a+

9

4a

+m，g′(a)=1-

9

4a2

=0⇒a=

3

2

y=g（a）在a∈(1，

3

2

)上单减，在a∈(

3

2

，2)上单增…（10分）
由（1）知f（x）在[1，2]上单增，
∴f_max=f（2）=11-ln9…（12分）
又g(1)=

13

4

+m
g(2)=

25

8

+m
g（1）＞g（2）
∴11-ln9≥

13

4

+m
∴m≤

31

4

-ln9…（14分）

点评：解决不等式恒成立求参数的范围，一般是将参数分离出来，通过构造函数，利用导数求出函数的单调性进一步求出函数的最值，得到参数的范围．