Question

如图5，⊙O₁和⊙O₂ 公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO₁与⊙O₁与E、G两点，直线DO₂交⊙O₂与F、H两点。

　 （1）求证：～；

（2）若⊙O₁和⊙O₂的半径之比为9：16，求的值。

　

Answer 1

22．（1）证明：∵AD是两圆的公切线，

       ∴AD²=DE×DG，AD²=DF×DH,

       ∴DE×DG= DF×DH, ∴，

       又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG。………………………4分

   （2）连结O₁ A，O₂A，∵AD是两圆的公切线，

       ∴O₁A⊥AD，O₂A⊥AD，

       ∴O₁O₂共线，

       ∵AD和BC是⊙O₁和⊙O₂公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC，

       ∴DG⊥DH，∴AD²= O₁A×O₂A，………………………8分

       设⊙O₁和⊙O₂的半径分别为9x和16x，则AD=12x，

       ∵AD²=DE×DG，AD²=DF×DH，

       ∴144x²=DE（DE+18x），144x²=DF（DF+32x）

       ∴DE=6x，DF=4x，∴。………………………10分