Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1），n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）是否存在正整数n使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）因为na_n=S_n+2n（n-1），
当n≥2时（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），
两式作差，有（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=4n-4，
?a_n-a_n-1=4，
又a₁=1，所以a_n=4n-3；
（2）由（1）可知数列是等差数列，
所以S_n==n（2n-1）?=2n-1，
假设存在n满足题设条件，则（2-1）+（2×2-1）+（2×3-1）+…+（2n-1）-（n-1）²=2009，
1+3+5+…+（2n-1）-（n-1）²=2009，-（n-1）²=2009，
即2n-1=2009，所以n=1005．
分析：（1）通过na_n=S_n+2n（n-1），写出当n≥2时（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），通过作差，证明数列{a_n}为等差数列，即可求出{a_n}的通项公式a_n；
（2）求出了的前n项和，求出的表达式．然后利用等差数列求和，利用等式求出n的值即可．
点评：本题考查数列的判断与证明，通项公式的求法，前n项和的求法，考查计算能力．