Question

已知向量=（sinA，cosA），=（，-1），（-）⊥，且A为锐角．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意得，利用两个向量的数量积的定义以及两个向量垂直的性质可得可得（）•=0，解得
sin（A-） 的值，再由A为锐角求得A的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=，化简f（x）=-2，由sinx∈[-1，1]，利用二次函数的性质求得
f（x）的最大值和最小值，即可求得所求函数f（x）的值域．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，向量=（sinA，cosA），=（，-1），可得 =sinA-cosA，
再由（-）⊥，可得（）•=-=1-sinA+cosA=2sin（A-）-1=0，
解得 sin（A-）=．
再由A为锐角得 A-=，故有A=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=，所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2，
因为x∈R，所以sinx∈[-1，1]，因此，当sinx=时，f（x）有最大值，
当sinx=-1时，f（x）有最小值-3，所以所求函数f（x）的值域是[-3，]．
点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角
函数的单调性，二次函数的性质应用，属于中档题．