Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，PA=AD=2AB，E为线段AD上的一点，且

AE

=λ

AD

．
（I）当BE⊥PC时，求λ的值；
（II）求直线PB与平面PAC所成的角的大小．

Answer 1

分析：（I）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，根据

PC

•

BE

=0，

AE

=λ

AD

，即可求得λ的值；
（II）确定面PAC的法向量为

BE

=(-1，

1

2

，0)，

BP

=(-1，0，2)，利用向量的夹角公式，即可求得直线PB与平面PAC所成的角．

解答：解：（I）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AB=1，则PA=AD=2，
又设|AE|=y，则：

PC

=（1，2，-2），

BE

=(-1，y，0)
由

PC

•

BE

=0，可得-1+2y=0，∴y=

1

2

，
又∵

AE

=λ

AD

，∴

1

2

=2λ，
∴λ=

1

4

…．（6分）
（II）由（I）知面PAC的法向量为

BE

=(-1，

1

2

，0)
又因为

BP

=(-1，0，2)
设PB与面PAC所成的角为α，则：sinα=

| BE •  BP |

|BE |•| BP |

=

|1+ 1 2 ×0+0×2|

12+ 1 4 +0 • 12+0+4

=

2

5

，
∵α∈[0，

π

2

]
∴PB所求PB与面PAC所成的角的大小为：arcsin

2

5

…．（12分）

点评：本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查线面角，解题的关键是建立坐标系，正确表示向量．