Question

已知等差数列{a_n}中，a₂=8，S₁₀=185．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若从数列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b_n}，试求{b_n}的前n项和A_n，并比较A_n与na_n的大小（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知

a1+d=8 10a1+ 10×9 2 d=185

由此解得a_n=5+（n-1）×3=3n+2．
（2）由题设条件知新数列的前n项和An=a2+a4+a8+…+a2n=3（2+4+8+…+2n）+2n再由等比数列前n项和公式可以求出新数列的前n项和A_n．

解答：解：（1）数列{a_n}为等差数列，a₂=8，S₁₀=185∴

a1+d=8 10a1+ 10×9 2 d=185

，∴

a1=5 d=3

，∴a_n=5+（n-1）×3=3n+2．
（2）新数列的前n项和An=a2+a4+a8+…+a2n=3（2+4+8+…+2n）+2n=3•

2(1-2n)

1-2

+2n=6（2ⁿ-1）+2n．
A_n-na_n=6（2ⁿ-1）-3n²＞0，∴A_n＞na_n．

点评：本题考查数列的通项及前n项和，解题时要注意公式的灵活运用．