Question

9．定义域为R的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{|{x-2}|}}，x≠2\\ 1，x=2\end{array}$，若关于x的函数h（x）=f²（x）+af（x）+$\frac{1}{2}$有5个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²等于（　　）

• A． 15
• B． 20
• C． 30
• D． 35

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{|{x-2}|}}，x≠2\\ 1，x=2\end{array}$的图象，结合图象可得1+a+$\frac{1}{2}$=0，从而求出a，再求5个零点即可．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{|{x-2}|}}，x≠2\\ 1，x=2\end{array}$的图象如下，
则由函数h（x）=f²（x）+af（x）+$\frac{1}{2}$有5个不同的零点知，
1+a+$\frac{1}{2}$=0，
解得，a=-$\frac{3}{2}$，
则解f²（x）-$\frac{3}{2}$f（x）+$\frac{1}{2}$=0得，
f（x）=1或f（x）=$\frac{1}{2}$；
故若f（x）=1，则x=2或x=3或x=1；
若f（x）=$\frac{1}{2}$，则x=0或x=4；
故x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=1+4+9+16=30；
故选：C．

点评 本题考查了学生的作图能力与数形结合的思想应用，同时考查了函数零点的应用，属于基础题．