题目内容

已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
（1）f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂（x₁，x₂∈R，a为常数）；
（2）f（0）=f（ $数学公式$ ）=1；
（3）当x∈[0， $数学公式$ ]时，|f（x）|≤2
求：（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．

解：（Ⅰ）在f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂中，
分别令 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
由①+②-③，得
2f（x）=2a+2cos2x-2cos（ $\text{[math]}$ +2x）+4a（ $\text{[math]}$ ）-4a（ $\text{[math]}$ ）
=2a+2（cos2x+sin2x）-2a（cos2x+sin2x）
∴f（x）=a+ $\text{[math]}$ （1-a）sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
（Ⅱ）当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，则 $\text{[math]}$ ≤2x≤ $\text{[math]}$ ，∴sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[ $\text{[math]}$ ，1]．
∵|f（x）|≤2，
（1）当a＜1时，-2≤a+ $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ （1-a）]≤f（x）≤a+ $\text{[math]}$ （1-a）≤2．
即1- $\text{[math]}$ ≤（1- $\text{[math]}$ ）a≤2- $\text{[math]}$ ，解得- $\text{[math]}$ ≤a≤1，
故a的取值范围[- $\text{[math]}$ ，1）．
（2）当a≥1时，-2≤a+ $\text{[math]}$ （1-a）≤f（x）≤1．即-2- $\text{[math]}$ ≤（1- $\text{[math]}$ ）a≤1- $\text{[math]}$ ，
解得1≤a≤4+3 $\text{[math]}$ ．
综上，满足条件a的取值范围[- $\text{[math]}$ ，4+3 $\text{[math]}$ ]．
分析：（Ⅰ）根据题中的关系式和已知的函数值，分别给x₁和x₂三组值，必须与0以及 $\text{[math]}$ 有关，列出三个方程构成一个方程组，对其进行化简变形，再利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式进行化简，求出函数的解析式；
（Ⅱ）由x的范围和正弦函数的性质求出sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的范围，根据a与1的大小进行分类求解，去掉绝对值利用平方差公式进行化简求解，最后要把结果并在一起．
点评：本题是有关三角函数的较难的综合题，求函数解析式时根据题意给两个变量适当的值，列出有关f（x）的几个方程，通过观察进行化简求出解析式，还利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式；求解绝对值不等式时需要对参数进行分类讨论，利用正弦函数的性质求出正弦值的范围，从而列出关于a的不等式进行求解，考查了分析问题和解决问题的能力．