Question

【题目】已知菱形，在轴上且， （，）．

（Ⅰ）求点轨迹的方程；

（Ⅱ）延长交轨迹于点，轨迹在点处的切线与直线交于点，试判断以为圆心，线段为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)（）；(Ⅱ)答案见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意可知对角线与垂直平分，由题意结合垂直平分线的性质可得点到直线的距离与到点的距离相等，结合几何关系可知点轨迹方程为（）.

（Ⅱ）设，，联立直线AD是方程与抛物线方程可得,由题意结合韦达定理可得，，，利用导数研究切线方程可得在点处的切线方程为：，且直线的方程为，据此可得交点坐标，即，计算可得点到直线的距离，则圆与直线相切.

试题解析：

（Ⅰ）因为是菱形，所以对角线与垂直平分，

因为在轴上，所以与直线垂直，

所以点到直线的距离与到点的距离相等，

所以点轨迹为抛物线（不包含顶点），

其轨迹方程为（）.

（Ⅱ）设，，

设直线的方程为，联立可得：

所以，．

因为菱形，所以，所以，

所以，所以，

所以，所以

由可得

所以在点处的切线方程的斜率为

则切线的方程为：，即……①

因为，，所以，

又中点，所以直线的方程为 ②

联立①②可得，即点，又，所以

所以，点到直线的距离

所以圆与直线相切.