Question

已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值的解析式；
（3）对（2）中的，证明：当a（0，+）时，1

Answer 1

解：（1）函数f（x）=，g（x）=alnx，aR．
f '（x）=，g '（x）=（x＞0），
由已知得解得
两条曲线交点的坐标为（e²，e）．
切线的斜率为k=f '（e²）=，
切线的方程为y﹣e=（x﹣e²）．
（2）由条件知h（x）=﹣alnx（x＞0），
h '（x）=﹣=，
①当a＞0时，令h '（x）=0，解得x=4a²．
当0＜x＜4a²时，h '（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上单调递减；
当x＞4a²时，h '（x）＞0，h（x）在（4a²，+）上单调递增．
x=4a²是h（x）在（0，+）上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
最小值（a）=h（4a²）=2a﹣aln（4a²）=2a[1﹣ln （2a）]．
②当a0时，h '（x）=＞0，h（x）在（0，+）上单调递增，无最小值．
故h（x）的最小值（a）的解析式为（a）=2a[1﹣ln （2a）]（a＞0）．
（3）证明：由（2）知（a）=2a（1﹣ln 2﹣ln a），
则'（a）=﹣2ln （2a）．
令'（a）=0，解得a=．
当0＜a＜时，'（a）＞0， （a）在（0，）上单调递增；
当a＞时，'（a）＜0， （a）在（，+）上单调递减．
（a）在a=处取得极大值?（）=1．
（a）在（0，+）上有且只有一个极值点，
（）=1也是（a）的最大值．
当a（0，+）时，总有（a）1．