题目内容

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 $数学公式$ + $数学公式$ 的最小值为________．

4+2 $\text{[math]}$
分析：将圆的一般方程转化为标准方程，可得圆心坐标与半径，又由题意，直线被圆截得的弦长为4，分析可得直线经过该圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，整理可得a+b=1；对 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 变形可得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =4+ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ，结合基本不等式的性质，分析可得答案．
解答：圆x²+y²+2x-4y+1=0化为标准方程为（x+1）²+（y-2）²=4，
易得圆心坐标为（-1，2），半径为2；
若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆截得的弦长为4，为直径的长，
则直线过圆心，即2a×（-1）-b×2-2=0，变形可得a+b=1，
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）×（a+b）=4+ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ，
又由a＞0且b＞0，可得 $\text{[math]}$ ＞0， $\text{[math]}$ ＞0，则（ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）≥2 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =4+ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ≥4+2 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值为4+2 $\text{[math]}$ ，
故答案为4+2 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查直线与圆位置关系的判断与基本不等式的应用，关键是判断出直线2ax-by+2=0过圆心（-1，2）．