Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若向量 

m

=(cosA，sinA)，向量

n

=(cosC，-sinC)，且

m

•

n

=-

1

2

．
（Ⅰ）求sinA的最大值及对应的A的值；
（Ⅱ）若a=2，b=

7

，求c的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积，两角和的余弦函数化简表达式，求出B的值，推出A的范围，即可sinA的最大值及对应的A的值；
（Ⅱ）直接利用余弦定理求出三角形的边c的长．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

•

n

=（cosA，sinA）•（cosC，-sinC）
=cosAcosC-sinAsinC
=cos（A+C）
=-cosB=-

1

2

，
cosB=

1

2

，
因为在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边
∴B=

π

3

，∴0＜A＜

2π

3

，
所以A=

π

2

时，sinA取得最大值为1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cosB=

1

2

，因为a=2，b=

7

，
所以由余弦定理可知b²=a²+c²-2accosB，
即：7=4+c²-2c，c²-2c-3=0，解得c=3，
所求c的长为：3．

点评：本题是中档题，考查向量的数量积的应用，余弦定理，两角和与差的三角函数，考查计算能力．