Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（-cos

B

2

，sin

B

2

），且满足

m

•

n

=-

1

2

．
（1）求角C的大小；
（2）若a-b=2，c=

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积得运算法则化简

m

•

n

=-

1

2

，利用两角和的余弦函数公式化简后，即可求出cos

A+B

2

的值，根据

A+B

2

的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出

A+B

2

的度数，进而得到C的度数；
（2）由c，cosC的值利用余弦定理即可得到ab的值，然后由ab的值和sinC，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

解答：解（1）∵

m

•

n

=-cos

A

2

cos

B

2

+sin

A

2

sin

B

2

=-cos（

A

2

+

B

2

）=-

1

2

，（3分）
∴cos

A+B

2

=

1

2

．注意到0＜

A+B

2

＜

π

2

，
∴

A+B

2

=

π

3

，得C=

π

3

．（6分）
（2）由c²=a²+b²-2abcos

π

3

，得5=（a-b）²+ab，ab=1，（9分）
因此△ABC的面积S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

．（12分）

点评：此题考查学生掌握平面向量的数量积得运算法则，灵活运用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．