题目内容
（2009•黄冈模拟）设函数f（x）=
ax3+
bx2+cx（c＜0），其图象在点A（1，0）处切线斜率为0，则f（x）的单调递增区间是
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（
，1）
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（
，1）
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分析：根据导数的运算法则，得f'（x）=ax2+
bx+c．由题意得f（1）=0且f'（1）=0，由此建立关于a、b、c的方程组，解出a=3c、b=-6c，从而得到f'（x）=3cx2-4cx+c，再解关于x的不等式f'（x）＞0即得
＜x＜1，可得f（x）的单调递增．
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解答：解：求导数，得f'（x）=ax2+
bx+c
∵y=f（x）的图象在点A（1，0）处切线斜率为0，
∴f（1）=0且f'（1）=0
可得
，解之得a=3c，b=-6c
∴f'（x）=3cx2-4cx+c=c（x-1）（3x-1）
∵c＜0，∴f'（x）=c（x-1）（3x-1）＞0即（x-1）（3x-1）＜0
解之得
＜x＜1，因此则f（x）的单调递增区间是（
，1）
故答案为：（
，1）
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∵y=f（x）的图象在点A（1，0）处切线斜率为0，
∴f（1）=0且f'（1）=0
可得
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∴f'（x）=3cx2-4cx+c=c（x-1）（3x-1）
∵c＜0，∴f'（x）=c（x-1）（3x-1）＞0即（x-1）（3x-1）＜0
解之得
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故答案为：（
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点评：本题给出三次多项式函数，在已知函数在点A（1，0）处切线斜率为0的情况下，求f（x）的单调递增区间．着重考查了导数的运算法则、导数的几何意义和利用导数求函数的单调区间等知识，属于中档题．
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