Question

已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₁=1，a₂=6，设b_n=a_n+n，求{b_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：计算前几项，猜想数列的通项，再利用数学归纳法进行证明；

解答：解：当n=1时，a₁=1，且a₂=6
当n=2时，a₃=3（a₂-1）=15，
当n=3时，2a₄=4（a₃-1），∴a₄=28，
猜测an=2n2-n，b_n=2n²．
下面用数学归纳法证明：
ⅰ当n=1时，等式b₁=a₁+1=2，b₁=2，成立，
ⅱ假设当n=k时，bk=2k2
则由（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1），
有ak+1=

k+1

k-1

（k-1）（2k+1）=2k²+3k+1=2（k+1）²-（k+1），
bk+1=2(k+1)2-(k+1)+(k+1)=2（k+1）²
即n=k+1时，等式也成立
综上，b_n=2n²．对一切大于0的自然数都成立．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．