Question

已知函数f(x)=2ax³-9ax²+b(a,b∈R)．

(Ⅰ)当a=1时，设g(x)=f(x)+cx(c∈R)，且函数y=g(x)的图像有与x轴平行的切线，求c的取值范围；

(Ⅱ)当a＞0时，若f(x)在区间[-1，2]上的最大值为27，最小值办-13，讨论函数h(x)=|f(x)-13|(x∈[0，2])的单调性．

Answer 1

(Ⅰ)解：(1)当a=l时，f(x)=2x³-9x²+b，

∴g(x)=2x³-9x²+cx+b(b、c∈R)

又g′(x)=6x²-18x+c，且y=g(x)的图像有与x轴平行的切线，

∴g′(x)=0有解，即方程6x²-18x+c=0有解

∴△=18²-4×6×c≥0，即:c≤

(Ⅱ)据题知f′(x)=6ax²-18ax=6ax(x-3)，令f′(x)=0，

在[-1，2]解为x=0,f(0)=b

当a＞0时，有

x	[-1,0]	0	(0,2]
f′(x)	+	0	-
f(x)		极大

则f(0)必为最大值，f(0)=b=27，而

f_min(x)=min{f(-1)，f(2)}，

又f(-1)=-2a-9a+27=-11a+27，

f(2)=16a-36a+27=-20a+27，

∴f(2)＜f(-1)，f(2)为最小值，即

f(2)=-20a+27=-13，解得a=2，

从而f(x)=4x³-18x²+27

又f(x)-13=4x³-18x²+14=4x³-4x²+14

=4x²(x-1)-14(x+1)(x-1)

=2(x-1)(2x²-7x-7)

即：h（x）= 

易知函数h(x)在区间[0，1]上是单调减函数，在区间(1，2]上是单调增函数．