Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点且（其中为坐标原点）.

（1）求椭圆的方程;

（2）若、 分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定点，理由见解析

【解析】

(1)本题首先可以根据得出、的值，然后通过、的值即可计算得出的值并得出椭圆方程；

(2)本题首先可以根据(1)中结论得出、两点坐标，然后设出直线的方程以及点坐标，再然后联立椭圆以及直线方程得出以及，最后根据即可得出结果。

(1)因为，

所以，，

所以椭圆方程为。

(2)由(1)可知，，

设直线的方程为，，则，

联立椭圆以及直线可得，整理得，

方程显然有两个解，由韦达定理可得，得，，

所以，

设，若存在满足题设的点，则，

由，整理可得恒成立，

所以，故存在定点满足题设要求。