Question

若函数f（x）=x³+

1

x

，则

lim

△x→0

f(△x-1)+f(1)

2△x

=

 

．

Answer 1

分析：根据导数的定义

lim

△x→0

f(x0+△x)-f(x0)

△x

=f′(x0)，和函数f（x）=x³+

1

x

，可知函数是奇函数，且可以求出其导数，根据极限的运算性质，对

lim

△x→0

f(△x-1)+f(1)

2△x

进行变形可求得结果．

解答：解：易知f（x）为奇函数，
∴

lim

△x→0

f(△x-1)+f(1)

2△x

=

1

2

lim

△x→0

f(△x-1)-f(-1)

△x

=

1

2

f′（-1）．
而f′（x）=3x²-

1

x2

∴

1

2

f′（-1）=1．
故答案为1．

点评：此题是个容易题．考查导数的定义和极限及其运算，注意导数的定义式，考查学生分析问题、解题问题的能力．