Question

如图，已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是A₁B₁、CC₁的中点，过D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G。

   （1）求证：EG//D₁F；

   （2）求锐二面角C₁—D₁E—F的余弦值。

Answer 1

解法：（1）证明：在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，

       平面ABB₁A₁//平面DCC₁D_1­。

       平面平面ABB₁A₁=EG，

       平面平面DCC₁D₁=D₁F，

             4分

   （2）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD₁为轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系，

       则有

             6分

       设平面D₁EGF的法向量为

       则由，

       得

       取，

       所以      8分

       又平面C₁D₁E的法向为         9分

所以，

       所以，锐二面角C₁—D₁E—F的余弦值为     12分