题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若 $数学公式$ ，求角C的值；
（2）求sinA+sinC的最大值，并指出此时三角形的形状．

解：（1）∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B= $\text{[math]}$ …2分
由正弦定理得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴sinA= $\text{[math]}$ ，
∵a＜b，
∴A= $\text{[math]}$ …4分
∴C= $\text{[math]}$ ，
∴c=2…6分
（2）由已知sinA+sinC
=sinA+sin（π-B-A）
=sinA+sin（ $\text{[math]}$ -A）
=sinA+ $\text{[math]}$ cosA+ $\text{[math]}$ sinA
= $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ …11分
当且仅当A= $\text{[math]}$ 时取等号，此时△ABC为等边三角形．
分析：（1）△ABC中，A，B，C成等差数列可求得B，再利用正弦定理可求得A，从而可求得C；
（2）利用两角和与差的三角函数公式可求得sinA+sinC= $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ），利用正弦函数的单调性与最值即可求得答案．
点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与两角和与差的三角函数公式，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．