Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数，
（1）求k的值；
（2）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（3）若，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据奇函数的性质知道f（0）=0，即可得答案．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，再根据f（x）的单调性求出不等式的解集．
（3）由课求出a的值，进而求出函数g（x）的解析式．再根据g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求出m的值
解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，∴k-1=0，
∴k=1
（2）∵f（1）＞0，∴，∴a＞1，
又f'（x）=a^xlna+a^-xlna=（a^x+a^-x）lna＞0
∴f（x）在R上单调递增，
原不等式可化为：f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}
（3）∵，∴，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x，
∵x≥1，∴，
∴g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，
当时，当t=m时，g（x）_min=2-m²=-2，
∴m=2，
当时，当时，，，舍去，
∴m=2．
点评：本题主要考查函数奇偶性的问题，这里要求会根据单调性进行解不等式．