Question

某地决定新建A，B，C三类工程，A，B，C三类工程所含项目的个数分别占总项目数的

1

2

，

1

3

，

1

6

（总项目数足够多），现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
（Ⅰ）求他们选择的项目所属工程类别相同的概率；
（Ⅱ）记ξ为3人中选择的项目属于B类工程或C类工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知他们选择的项目所属工程类别相同表示三名工人选择相同的工程，都选A，都选B或是都选C，这三个事件之间是互斥的，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）由题意知每次试验中事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，得到变量符合二项分布，根据二项分布的概率和期望公式，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）∵3名工人选择的项目均为A类工程的概率P1=(

1

2

)3，
均为B类工程的概率P2=(

1

3

)3，
均为C类工程的概率P3=(

1

6

)3，
∴他们选择的项目所属工程类别相同的概率P=P1+P2+P3=

1

6

．

（Ⅱ）设三名工人中选择项目属于A类工程的人数为η，
∵每次试验中事件发生的概率是相同的，
各次试验中的事件是相互独立的，
每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，
∴η～B(3，

1

2

)，ξ=3-η．
P(ξ=0)=P(η=3)=(

1

2

)3=

1

8

，
P(ξ=1)=P(η=2)=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P(ξ=2)=P(η=1)=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P(ξ=3)=P(η=0)=(

1

2

)3=

1

8

．
故ξ的分布列是：

ξ的数学期望Eξ=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

．

点评：本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．这是高考常出的一种类型的题目．