题目内容
已知函数f（x）=loga（1+x）-loga（1-x）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）的反函数f-1（x）；
（2）若
，解关于x的不等式f-1（x）＜m（m∈R）．
解：（1）∵f（x）=loga（1+x）-loga（1-x）
∴y=loga
即ay=
∴ay-1=x（ay+1）
即x=
∴f-1（x）=
（x∈R）；--------------------------（4分）
（2）f-1（1）=
∴=
即a=2，
∴f-1（x）=
＜m，
∴2x（1-m）＜1+m；--------------------------（6分）
①当m≥1时，不等式解集为x∈R；--------------------------（8分）
②当-1＜m＜1时，得2x＜
，不等式的解集为{x|x＜
}；------（10分）
③当m≤-1时，x∈φ--------------------------（12分）
分析：（1）先化简得y=loga，用y表示出x，再交换x，y的位置，即得所求的反函数，原函数的值域即为反函数的定义域；
（2）根据求出a的值，然后根据f-1（x）＜m，讨论m的取值范围可求出不等式的解集．
点评：本题主要考查了反函数的求法，以及对数的运算法则，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．
∴y=loga
即ay=
∴ay-1=x（ay+1）
即x=
∴f-1（x）=（x∈R）；--------------------------（4分）（2）f-1（1）=
∴
=即a=2，∴f-1（x）=
＜m，∴2x（1-m）＜1+m；--------------------------（6分）
①当m≥1时，不等式解集为x∈R；--------------------------（8分）
②当-1＜m＜1时，得2x＜
，不等式的解集为{x|x＜}；------（10分）③当m≤-1时，x∈φ--------------------------（12分）
分析：（1）先化简得y=loga
，用y表示出x，再交换x，y的位置，即得所求的反函数，原函数的值域即为反函数的定义域；（2）根据
求出a的值，然后根据f-1（x）＜m，讨论m的取值范围可求出不等式的解集．点评：本题主要考查了反函数的求法，以及对数的运算法则，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．
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