题目内容

已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（ $数学公式$ ）=0．求不等式f（log_ax）＞0（a＞0，且a≠1）的解集．

解：因为f（ $\text{[math]}$ ）=0．
所以不等式f（log_ax）＞0 等价于f（log_ax）＞f（ $\text{[math]}$ ）
因为偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以（-∞，0）上是减函数
（1）当log_ax≥0时，log_ax＞ $\text{[math]}$
若0＜a＜1，解得0＜x＜ $\text{[math]}$ ；
若a＞1，解得x＞ $\text{[math]}$ ；
（2）当log_ax＜0时，log_ax＜- $\text{[math]}$ ；
若0＜a＜1，解得x＞ $\text{[math]}$ ；
若a＞1，解得0＜x＜ $\text{[math]}$ ；
即：0＜a＜1时不等的解集（0， $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，+∞）；
a＞1时不等的解集（0， $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，+∞）；
分析：由偶函数在对称区间上单调性相反，可判断出f（x）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数，进而根据f（- $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=0．可将不等式f（log_ax）＞0化为对数不等式，分类讨论并根据对数函数的单调性可得答案．
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，函数的单调性与奇偶性，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．